Actualizada en http://www.um.es/docencia/barzana/II/II_Programa03_04.html
Introducción
Códigos de entrada/salida
Sistemas de numeración más usuales
Representación interna de la información
Detección de errores en la información codificada
Como se ha visto, un ordenador es una máquina que procesa información. La ejecución de un programa implica la realización de unos tratamientos, según especifica un conjunto ordenado de instrucciones (es decir, un programa) sobre unos datos. Para que el ordenador ejecute un programa es necesario darle información de dos tipos:
Los caracteres que se utilizan para la representación externa son:
Veremos cómo estos caracteres usados en la representación externa son representables en los ordenadores. Este paso de una representación a otra se denomina codificación y el proceso inverso decodificación.
Por lo tanto hay dos niveles en la representación de la información
Los elementos básicos que constituyen un ordenador son de naturaleza binaria, ya que sólo pueden adoptar dos valores, 0 y 1 (corresponden a dos niveles de tensión, dos valores de corriente, dos situaciones de una lámpara... ). Al tener que traducir toda la información suministrada a ceros y unos es necesario establecer una correspondencia entre el conjunto de todos los caracteres:
de forma que a cada elemento del primero le corresponda un elemento distinto del segundo.
Estos códigos de transformación se denominan códigos E/S (entrada/salida) o externos y se pueden definir de forma arbitraria. Las operaciones aritméticas con datos numéricos se suelen realizar en una representación más adecuada para este objetivo que la del código de E/S. Por ello en el propio ordenador se efectúa una transformación entre códigos binarios, obteniéndose una representación fundamentada en el sistema de numeración en base dos, que al ser una representación numérica posicional es muy apta para realizar operaciones aritméticas.
5.2 Códigos de entrada/salida.
Los códigos de E/S o externos son códigos que asocian a cada carácter una combinación
de bit. En otras palabras, un código de E/S es una correspondencia entre los conjuntos:
y
Si se usa un número fijo, n, de bit para codificar los símbolos de A, el valor mínimo de n dependerá del número m de elementos de A. Así:
Es decir, n debe ser el menor entero que verifique la relación anterior.
Ejemplo: Para codificar las 10 cifras decimales (0, 1,...,9) se necesitarán:
Dos codificaciones posibles son las siguientes:
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Usualmente este código utiliza 6 bit, con lo que se pueden representar, m = 26 = 64 caracteres. A veces se añade a su izquierda un bit adicional para verificar posibles
errores en la transmisión del código (que veremos más adelante) de forma que el carácter queda representado por n = 7 bit.
| bit de verificación | ||||||
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Los bit 4, 5 son conocidos como bit de zona. Los bit de zona indican el tipo de carácter representado. Ejemplo: 00 para los numéricos. Los bit 0, 1, 2, 3 son conocidos como bit de posición, que coinciden para los caracteres numéricos con la representación en binario natural y para el 0 con la representación del 10.
CODIGO EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange).
Utiliza n = 8 para representar cada carácter, pudiendo codificar hasta m = 28 = 256 símbolos distintos.
CODIGO ASCII (American Standard Code for Information Interchange)
Utiliza 7 bit y es de los más
utilizados. Normalmente se incluye un octavo bit para detectar posibles
errores de transmisión o grabación. Si el octavo bit se emplea
para representar más caracteres como letras griegas y símbolos
semigráficos, se tiene el denominado ASCII extendido, usado en el
PC de IBM y compatibles.
5.3 Sistemas de numeración más usuales.
Los ordenadores suelen efectuar las operaciones
aritméticas utilizando una representación para los datos
numéricos basada en el sistema de numeración en base 2 (binario
natural). También se utilizan los sistemas de numeración
octal y hexadecimal, para obtener códigos intermedios. Un número
expresado en uno de estos códigos puede transformarse a binario
y viceversa. 5.3.1 Representación posicional de los números Se define un sistema de numeración: como el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de cantidades. En ellos existe un elemento característico que define
el sistema y se denomina base, siendo ésta el número de símbolos que se utilizan para la representación.
Un sistema de numeración en base "b" utiliza
para representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos
o cifras. Así todo número se expresa por un conjunto de cifras,
teniendo cada una de ellas dentro del número un valor que depende:
Por ejemplo, el número 3278.52 puede obtenerse como suma de:
por tanto se verifica que:
Cada posición, por tanto, tiene un peso: Generalizando se tiene que la representación de un número en una base b :
LOS SISTEMAS DE NUMERACION A LO LARGO DE LA HISTORIA
Seguidamente se comentan los sistemas de numeración que distintas culturas han usado a lo largo de la Historia
· Introducción. El Concepto de Base
· Sistemas de Numeracion Aditivos
o Egipcio
o Griego
· Sistemas de Numeración Híbridos
o Chino
· Sistemas de Numeración Posicionales
o Babilónico
o Maya
Introducción. El concepto de base
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los hindús y transmitido a Europa por los árabes. Del origen hindú del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Sistemas de numeracion aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema geroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un geroglífico específico. Así para escribir 754 usaban siete geroglíficos de centenas cinco de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están fisicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los simbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judios y árabes.
El sistema de numeración egipcio
Desde el tercer milenio a.n.e. los egipcios usaron un sistema deescribir los números en base diez utilizando los geroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
El sistema de numeración griego
El primer sitema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 a.n.e. Era un sistema de base decimal que usaba unos símbolos para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el cuatro se usaban trazos verticales. Para el cinco, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de cinco, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos.
De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
Sistemas de numeración híbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacion del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente hindú cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
El sistema de numeración chino
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.N.E. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza ideogramas y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en siglo VIII en nada se diferencia de este.
Sistemas de numeración posicionales
Mucho más efectivos que los sitemas anteriores son los posicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la intraducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de simbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio nigún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los hindúes antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales se originó en India. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos dificilmente la ciencia hubiese podido avanzar.
El sistema de numeración Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. Inventaron un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.
Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
El sistema de numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que seañadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carater religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario
En el sistema de numeración decimal (base 10), que habitualmente se utiliza, b = 10 y el alfabeto por tanto, está constituido por 10 símbolos: {0, 1, 2..., 9}
200
70
8
0.5
0.02
3278.52
Posición 0 Peso b0
Posición 1 Peso b1
Posición 2 Peso b2
Posición 3 Peso b3
....
Posición -1 Peso b-1
Posición -2 Peso b-2
.....
es una forma abreviada de expresar su valor, que es:
Ejemplo en base 8:
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b = 8. Los símbolos que se usan son: El valor decimal del número octal 175.378 será: |
5.3.2 Sistema de numeración en base dos.
El sistema de numeración en base dos, fue introducido por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en el siglo XVII, siendo el más adecuado para usar en las máquinas electrónicas, debido a que utilizan esencialmente sistemas de dos estados, encendido y apagado. En el sistema binario los datos se representan en un sistema que sólo admite dos estados, 0 y 1.
Las operaciones aritméticas se suelen realizar usando una representación de datos y resultados en binario natural.
A) Definición del sistema binario.
En el sistema de numeración binario b=2 y el conjunto de símbolos usados es: {0, 1}
Una muestra de los números enteros binarios que se pueden formar con 3 bit y que corresponden a las cifras decimales {0, ...,7} es:
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B) Transformaciones entre bases binaria y decimal.
Se puede transformar un número binario a decimal sin más que usar la expresión vista anteriormente:
.n4 n3 n2 n1 n0
n-1 n-2...)2 = ...n4 24 + n3
23 + n2 22 + n1 21
+ n0 20+ n-1 2-1 + =
N)10
Ejemplo:
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Transformar a decimal los siguientes números binarios:
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Para transformar un número decimal a binario:
a) La parte entera del nuevo número (binario)
se obtiene efectuando divisiones enteras (sin obtener decimales)
por dos, de la parte entera del número decimal de partida y de los
cocientes que sucesivamente se vayan obteniendo. Los restos de estas divisiones
y el último cociente (que serán siempre ceros y unos) son
las cifras binarias. El último cociente será el bit más
significativo y el primer resto el bit menos significativo (más
a la derecha).
Ejemplo:
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26)10 es en binario: 26)10 = 11010)2
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b) La parte fraccionaria del número binario se obtiene multiplicando por 2 sucesivamente la parte fraccionaria del número decimal de partida y las partes fraccionarias que se van obteniendo en los productos sucesivos. El número binario se forma con las partes enteras (que serán ceros y unos) de los productos obtenidos.
Ejemplo:
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Transformar a binario natural el número decimal 0.1875 0.1875 0.3750
0.7500 0.5000
0.1875)10 = 0.0011)2 |
Ejemplo:
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Transformar a binario el número decimal 74.423 a) Parte entera:
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b) Parte fraccionaria: 0.423 0.846
0.692 0.384 0.768
Es decir: 74.423)10 = 1001010.01101...)2 |
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Ejemplo, programa en C, para convertir de base 10 a base 2 1) Se divide el numero entre la base y se va guardando el residuo, el resultado de la división se vuelve a dividir entre la base y se guarda el residuo; esto se efectúa tantas veces hasta que el resultado de la división sea cero.
c0 b c0 r0 ¿Qué observamos? Es posible utilizar un arreglo de vectores de: c0,c1,c2,c3 r0,r1,r2,r3 b se mantiene constante. En la primera columna se
observa que en el tercer renglón se repite un valor de c0 porque es el resultado de la
división, que luego se debe utilizar, nuevamente para hacer la siguiente
división. ¿Ahora como hacemos para que vayan cambiando los subíndices? primera iteración c0 b c0 r0 Haríamos un "for del índice de 0 a 3"segunda iteración c0 b c1 r1 Sin embargo los que estan obscuros perjudican tercera iteración c1 b c2 r2 nuestro for, lo que podemos mejorarlo de este tercera iteración c2 b c3 r3 modo: c[0]= c[1]- 1. Y con esto quedaria asi: co b co ro c1-1 b c1 r1 c2-1 b c2 r2 c3-1 b c3 r3 si hago el numero= c0; Que así con un solo for (i=0;i<=3;i++){ c[i]=c[i-1]/b; r[i]=fmod(c[i-1],b) } ¿Cómo lo mandamos a imprimir el resultado?: r4r3r2r1= 1110 base2 = 14 base10 hacemos otro for para el subindice de r[i] desde i=4 hasta i=0 for (i=4; i<=0;i--){ printf("%d", r[i]); } #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> int c[50], r[50]; /* es mejor poner más de lo necesario */ int i,b;
clrscr(); /* Datos */
/* conversion */
{ c[i]= c[i-1]/b;
}
{
} |
C) Operaciones aritméticas y lógicas con variables binarias.
Una variable binaria puede representar, una cifra de un número en el sistema de numeración en base dos. Las operaciones aritméticas básicas con variables binarias naturales son la suma, resta, multiplicación y división. Estas operaciones son análogas a las realizadas en decimal pero usando ceros y unos.
Tabla de operaciones aritméticas:
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1110101 1101010 1101010 1110110 - 1010111 * 11 ------------- ------------- ------------ 11101011 0010011 1101010 + 1101010 --------------- 100111110 |
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Producto lógico (AND)
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Complementación (NOT)
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Las tablas son las siguientes:
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NOR
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Se ha visto la simplicidad de las operaciones aritméticas en binario. Los ordenadores funcionan con circuitos que pueden representar los dos estados del sistema binario (0 y 1) abriéndose o cerrándose el circuito.
Al conectar dos circuitos según el esquema, y hacer pasar una corriente eléctrica por A se puede conseguir que el estado del conductor C represente el resultado de la operación AND lógica.
1
1
---------------*------------------ C toma el valor 1
A
B
0
1
---/ /---------*------------------ C toma el valor 0
A
B
1
0
---------------*-------/ /------ C toma el valor 0
A
B
0
0
--/ /---------*-------/ /------- C toma el valor 0
A
B
De forma parecida se construye la función OR lógica:
A = 1
-------------------
|------------------- C=1
-------------------
B = 1
A = 1
-------------------
|------------------- C=1
----/ /----------
B = 0
A = 0
----/ /----------
|------------------- C=1
-------------------
B = 1
A = 0
-----/ /----------
|------------------- C=0
----/ /----------
B = 0
Estos ejemplos ilustran cómo basándose en circuitos e impulsos eléctricos un ordenador puede realizar operaciones aritméticas y lógicas. El motivo por el que los ordenadores electrónicos trabajan en el sistema binario se puede deducir de los ejemplos vistos. Queda imaginar la complejidad que supondría trabajar en el sistema decimal (con circuitos 10 veces más complejos para representar operaciones de 2 dígitos).
Una puerta es un circuíto electrónico que produce una señal de salida que es una operación booleana sencilla de las señales de entrada. Las puertas básicas usadas en lógica digital son AND, OR, NOT, XOR, NAND y NOR. cada puerta se define de tres formas: símbolo gráfico, notación algebraica y tabla de verdad, como se muestra seguidamente:
D) Representación en complementos.
Para representar un número negativo se puede utilizar el complemento de ese número a la base. De esta forma las sumas y restas quedan reducidas a sumas. Este sistema de representación es de sumo interés en el caso de los ordenadores ya que al usarlo se reduce la complejidad de los circuitos.
El complemento a la base de un número, es el número que resulta de restar a cada una de las cifras del número N a la base menos uno del sistema que se esté utilizando y posteriormente sumar uno a la diferencia obtenida.
Ejemplo:
-63 + 1 ------ ------ 36 37 Es decir, el complemento a 10 (base)del número 63 es 37. |
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En base 2: Base menos uno: 1 Complemento a 2 del número 10010 es 01110
Complemento a 2 del número 101010 es 010110 111111
010101
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Observamos que para transformar un número binario N a complemento a 2 basta con cambiar los 0 por 1 y los 1 por 0 de N y sumar 1 al resultado.
Veremos ahora que la utilidad de esta representación es para convertir la realización de las restas a sumas, lo cual simplifica el diseño del procesador.
Ejemplo: Base 10
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Supongamos que se ha de realizar la siguiente operación: 77 - 63 Se puede hacer de dos formas diferentes: a) Directamente: 77 - 63 = 14
-63 +1 ---- ----- 36 37 77
El resultado es 14 |
Es decir, para restar basta con sumar el minuendo con el complemento a la base del substraendo y sin considerar el acarreo.
Ejemplo: Base 2
Se puede hacer de dos formas: a) Directamente: 11001
b) Usando el complemento a 2 del substraendo: El substraendo es 10010. Su complemento a 2 se obtiene cambiando
0 por 1 y 1 por 0.
01101
+01110 --------- 100111 - (No se considera) |
E) Códigos intermedios.
Los códigos intermedios se basan en la facilidad de transformar un número en base 2 a otra base que sea potencia de 2 y viceversa. Usualmente se usan como códigos intermedios los sistemas de numeración en base 8 y en base 16 (conocidos como octal y hexadecimal).
Para convertir un número octal a binario sólo debemos sustituir cada dígito octal por su equivalente binario.
Equivalencias
| OCTAL | BINARIO |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
|
6 se sustituye por 110 2 se sustituye por 010 537.24)8 = 101 011 111 . 010 100)2 |
que equivale según la tabla, a: 5 3 7 . 2 4
La conversión de binario a octal se realiza juntando en grupos de tres dígitos binarios, comenzando por la izquierda desde el punto decimal y sustituyendo cada grupo por el correspondiente dígito octal.
Ejemplo:
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El número binario 10001101100.11010)2 es en octal |
Para pasar un número de octal a decimal aplicamos la expresión:
con b = 8.
Ejemplo:
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Para pasar el número octal 1367.25)8 a decimal: |
Para pasar un número entero decimal a octal se hacen sucesivas divisiones enteras del número y los subsiguientes cocientes por 8 (al igual que en binario). Para transformar la parte fraccionaria de un número decimal a octal se hacen sucesivas multiplicaciones por 8 (de la misma forma que en binario).
Ejemplo:
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Para pasar el número decimal 760.33)10 a octal: 760 | 8__
0.33 0.64 0.12
0.96
El número en octal es 1370.2507 |
b) HEXADECIMAL.
Para representar un número en base hexadecimal (b = 16) es necesario disponer de un conjunto o alfabeto de 16 símbolos. Se suele usar el conjunto:
Podemos hacer las conversiones de binario a hexadecimal y viceversa en forma análoga al sistema octal. Ahora bien, aquí utilizaremos grupos de 4 bit en lugar de grupos de 3 bit.
Equivalencias
| HEX | BINARIO | DECIMAL |
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0110 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| A | 1010 | 10 |
| B | 1011 | 11 |
| C | 1100 | 12 |
| D | 1101 | 13 |
| E | 1110 | 14 |
| F | 1111 | 15 |
|
Pasar el número binario 010010111011111.1011101)2 a hexadecimal. |
Ejemplo:
|
Pasar el número 1ABC701.C4)16 a binario: El número binario resultante es: |
Para transformar un número hexadecimal a decimal aplicamos la expresión siguiente con b=16.
Ejemplo:
|
Pasar el número hexadecimal A798C.1E)16 a decimal. |
Para pasar un número de decimal a hexadecimal se hace de forma análoga a los casos binario y octal: la parte entera se divide por 16, así como los cocientes enteros sucesivos, y la parte fraccionaria se multiplica por 16, así como las partes fraccionarias de los productos sucesivos.
Ejemplo:
|
El número 4573.79)10 se corresponde en hexadecimal:
0.79 0.64 0.24
El número en hexadecimal es 11DD.CA3)16 |
5.4 Representación interna de la información.
En la memoria y el procesador central la información se transmite y procesa en unidades denominadas palabras. La organización de las palabras depende del ordenador, siendo usuales las longitudes: 8, 16, 32, 36, 60 y 64 bit, aunque hay hasta de 512 bit.
La memoria principal se encuentra organizada en palabras, cada una de las cuales tiene asignada una dirección. Los intercambios de información entre el procesador y la memoria se hacen en unidades denominadas palabras y no en caracteres (octetos) o en bit.
Normalmente para aprovechar la memoria, la longitud de la palabra debe ser un múltiplo entero del número de bit usados para representar un carácter.
Los datos se introducen inicialmente en el ordenador según un código de entrada/salida (que ya hemos visto), tanto si éstos son de tipo alfabético como de tipo numérico.
Los datos de tipo numérico se utilizan normalmente para operar aritméticamente con ellos, y la representación simbólica obtenida con el código de E/S no resulta adecuada para realizar este tipo de operaciones. Resulta más adecuado operar en un sistema de numeración que en un código de E/S.
Por los motivos anteriores, y teniendo en cuenta que la ALU opera con palabras, se realiza una conversión de notaciones pasando de la representación simbólica de E/S a otra notación que denominamos representación interna.
TIPOS DE INFORMACION.
En un sistema de procesamiento de la información es necesaria la codificación de tres clases de información:
EnterosReales
Complejos
Lógicos
Los datos de tipo complejo se representan por parejas de números reales almacenados en posiciones consecutivas de memoria. Es decir, pueden considerarse como un caso particular de números reales.
B) Datos de tipo lógico
Representan un valor del Algebra de Boole binaria, es decir, 0 (falso) ó 1 (verdad).
C) Representación en punto fijo
El nombre de esta representación surge al considerar el punto fraccional, situado en una posición fija. El punto fijo es utilizado para la representación de números enteros, suponiéndose el punto fraccional ubicado a la derecha de los bit. Cualquiera de los sistemas de representación de enteros es una representación de punto fijo. Tambien, se puede utilizar la representación en punto fijo para representar fracciones binarias escalando los números, de modo que el punto fraccional quede ubicado implícitamente en otra posición entre los bit, y en el caso límite a la izquierda de todos ellos describiendo un número fraccional binario puro (menor a 1).
Ejemplo de representación interna de datos de tipo entero en un ordenador de palabras de 4 bit:
| DECIMAL | SIGNO Y MAGNITUD | COMPLEMENTO A 2 |
| 7 | 0111 | 0111 |
| 6 | 0110 | 0110 |
| 5 | 0101 | 0101 |
| 4 | 0100 | 0100 |
| 3 | 0011 | 0011 |
| 2 | 0010 | 0010 |
| 1 | 0001 | 0001 |
| +0 | 0000 | 0000 |
| -0 | 1000 | ---- |
| -1 | 1001 | 1111 |
| -2 | 1010 | 1110 |
| -3 | 1011 | 1101 |
| -4 | 1100 | 1100 |
| -5 | 1101 | 1011 |
| -6 | 1110 | 1010 |
| -7 | 1111 | 1001 |
| -8 | ----- | 1000 |
Los datos de tipo carácter, representan sencillamente cadenas de caracteres representados según el código de E/S.
A las representaciones de los caracteres se les imponen las siguientes condiciones:
Las instrucciones llevan cierto número de informaciones:
Así una zona de código de operación de 6 bit permite codificar 26 = 64 operaciones diferentes, y si una zona de direcciones es de 16 bit permitirá direccionar
una memoria de 216 direcciones.
5.5 Detección de errores en la información codificada
Hemos visto anteriormente que si representamos
cada carácter por un número fijo de bit, para representar
m símbolos distintos necesitamos al menos n bit, siendo n el menor
número entero que verifica la relación
También hemos observado que a veces no es necesario utilizar todas las combinaciones posibles de los n bit. Cuantas menos combinaciones se desperdicien decimos que el código es más eficiente.
Un código que es poco eficiente se dice que es redundante. La eficiencia de un código se expresa como el cociente entre el número de símbolos que representa y el número total posible,
así se tiene para el ASCII una eficiencia de 95/27, que es 0.742, con R=25.8% y para el ASCII extendido la eficiencia es 95/28, que es 0.371, con R=62.9%, donde R es la redundancia, que se calcula, R=(1-þ)*100%
A veces las redundancias se introducen deliberadamente para poder detectar posibles errores en la transmisión o grabación de información.
Así por ejemplo, si necesitamos transmitir 8 símbolos (A, B, C,...,H) y si se hace con un código sin redundancias, necesitamos n = 3 bit, y un código posible puede ser:
| ALFABETO | CÓDIGO | |
| A | 000 | |
| B | 001 | |
| C | 010 | |
| D | 011 | |
| E | 100 | |
| F | 101 | |
| G | 110 | |
| H | 111 | |
En el caso de que por algún error uno de
los bit varíe obtenemos otro símbolo del alfabeto, que considerado
aisladamente no puede ser detectado como erróneo. Si se usase un
código redundante, tal como el siguiente:
| ALFABETO | CÓDIGO | |
| A | 0000 | |
| B | 0001 | |
| C | 0010 | |
| D | 0011 | |
| E | 0100 | |
| F | 0101 | |
| G | 0110 | |
| H | 0111 | |
existirían algunas posibilidades de detectar errores. Así por ejemplo, si se transmite el símbolo H, esto es 0111, y por un error la transmisión cambiara el primer bit, esto es se recibiese 1111, podría detectarse el error ya que 1111 no corresponde a ninguno de los símbolos posibles.
Usualmente las redundancias se introducen deliberadamente y de acuerdo con algún algoritmo predeterminado.
Uno de estos algoritmos añade al código inicial da cada carácter un nuevo bit denominado bit de paridad. Existen dos criterios para introducir este bit:
Código inicial Código con bit de paridad par
100 0001
0100 0001
-
101 1011
1101 1011
-
101 0000
0101 0000
-
110 1000
1110 1000
-
Código con bit de paridad impar
100 0001
1100 0001
-
110 0101
1110 0101
-
010 0000
0010 0000
-
000 0000
1000 0000
-
El bit de paridad se introduce antes de transmitir o grabar la información. Por ruido o interferencias en la transmisión o defecto del soporte de la información puede eventualmente cambiar un bit (de 1 a 0 ó de 0 a 1). Si en el receptor o al leer la información se comprueba la paridad, se detectaría el error, ya que el número de unos dejaría de ser par (en el criterio par) o impar (en el criterio impar).
En el caso de transmisión de datos, automáticamente se podría provocar una nueva transmisión del carácter erróneo. Obviamente si se produjese el cambio simultáneo de dos bit distintos no se detectaría el error de paridad, ahora bien, esta eventualidad es mucho menos probable que la de que cambie un sólo bit.
Otro caso habitual donde aparece información redundante con la finalidad de verificar errores, es en los códigos de baras, habituales en cualquier producto que se comercialice masivamente. En 1974 los 12 países que entonces formaban la Unión Europea decidieron
adoptar un sistema de codificación para los productos, similar al sistema UPC de Estados Unidos de Norteamérica. Así surgió el código EAN (European Article Numbering), sistema que han adoptado más de 100 países y cerca de un millón de empresas.
El más usual es EAN 13, formado por 13 dígitos agrupados en cuatro partes: prefijo, código empresa, código producto y dígito de control. El prefijo asignado por EAN internacional a AECOC es el 84, de modo que la mayoría de las empresas que forman parte del sistema EAN a través de AECOC utilizan este número. El código de empresa (fabricante o cadena de distribución) está formado por un número de entre 5 y 8 dígitos. El código del producto completa los primeros 12 dígitos y el último dígito es de control. Por ejemplo, un tarro con garbanzos cocidos marca Eroski, lleva el siguiente código 8480010021967, donde 84 significa España, 80010 es el número que tiene asignado la cooperativa Eroski, 02196 corresponde a ese tipo de garbanzos, siendo una clasificación interna del distribuidor y 7 es el código de control.
En el momento de la venta, el terminal punto de venta (TPV), realiza las siguientes operaciones:
1. Suma los dígitos de las posiciones pares: 4+0+1+0+1+6 = 12
2. Multiplica el resultado por 3: 12x3= 36
3. Le añade los dígitos de las posiciones impares: 36+8+8+2+9=63
4. Resta la suma obtenida del siguiente múltiplo de 10: 70-63=7
Si el resultado coincide con el dígito de control, como es el caso, el
ordenador enviará el precio al TPV.
